람베르트 W 함수

람베르트 $\boldsymbol W$ 함수(Lambert $\boldsymbol W$ function)는 특수함수의 하나로, 오메가 함수(Omega function) 또는 곱 로그(Product logarithm)[1]라고도 한다.

함수의 정의에 앞서 우선 다음과 같은 지수함수를 정의해 보자.

여기서 $x$와 $y$를 서로 바꾸어 역함수

를 얻는데, 이를 만족하는 $y$를 $y \equiv W(x)$로 정의하고, 람베르트 $W$ 함수라 한다.[2] 즉, $W(x)e^{W(x)}=x$이다.

이 함수는 절대로 초등함수로 나타낼 수 없는데, 동일한 수로 곱과 지수가 엉켜 있는 형태이기 때문.

게다가 $y = xe^x$가 $x = -1$에서 극솟값 및 최솟값 $-e^{-1}$을 나타내므로, 람베르트 $W$ 함수는 기본적으로 음함수이다. 그래서 양함수로 나타내기 위해 $y = -1$을 기점으로 $W_{-1}(x)$[* 정의역: $[-e^{-1}, \,0)$]와 $W_0(x)$[* 정의역: $[-e^{-1},\, \infty)$]로 쪼개서 나타낸다. 즉 $W(x)$로 이르는 것은 실제로는

인 셈이다.

아래는 람베르트 $W$ 함수의 그래프이다. 위의 설명과 같이 두 영역으로 나뉘어 나타난다.

파일:나무_람베르트W함수_그래프_NEW.png

$W_0(x)$은 매클로린 전개를 이용하여 무한급수로 나타낼 수 있는데 다음과 같다.

한편, $xe^x = 1$, 즉 $W_0(1)$을 오메가 상수라고 하며 $\Omega$로 나타낸다. 위 무한급수 식에 $x=1$을 대입하면 얻을 수 있고, 구체적인 값은 약 0.567143이다.

일반화된 버전으로 $W_n(x)$가 있는데, $n$이 $-1$, $0$이 아닌 경우 무조건 복소수 값을 띤다. 심지어 $n$이 $-1$, $0$인 경우에도 상술한 범위[4]를 벗어나면 복소수가 된다.

이 함수의 미분은 $x = W(x)e^{W(x)}$를 이용해서 구할 수 있으며, 음함수의 미분법을 사용하여 양변을 미분하면

로 쓸 수 있다. 그런데 $x = W(x) e^{W(x)}$으로부터

이므로

으로 쓸 수 있음에 따라

을 얻는다. 단, $x=-e^{ -1 }$에서는 미분 가능하지 않으며, $x=0$에서는 치환 전의 식에 따라 $W'(0)=1$을 얻을 수 있다.

부정적분을 구할 때는 부분적분법을 이용하면 된다.

중간 과정에서 미분할 때 썼던 몇몇 공식을 이용했다.

이 문단에서는 방정식 $x^x=a$의 해를 람베르트 $W$ 함수로 구해보도록 하자.

양변에 자연로그를 씌우면,

이다. $x = e^{\ln x}$ 이므로 위 식은 $e^{\ln x}\ln x = \ln a$ 로 변하는데, 이 때 람베르트 $W$ 함수를 양변에 취하면 정의에 따라

이고, 식을 정리하면

를 얻는다.[5]

위 결과를 본 방정식에 대입하면

가 되므로 답과 일치한다.

이 문단에서는 $a^x = bx+c$의 해를 람베르트 $W$ 함수로 구해보자.

$z = bx+c$으로 놓으면,

가 되고, 대입하면 $a^{{(z-c)}/b} = z$, 양 변에 $a^{ c/b}$를 곱하면

가 된다. 여기서 상수를 각각 $a^{1/b} \equiv p$, $a^{ c/b} \equiv q$로 치환하자.

$t = p^z \to z = \log_pt$로 놓으면,

가 되고 이 식을 변형하면

가 된다. 이제 양변에 $-1/t$제곱을 취하면

가 된다. 이 때, $1/t \equiv u$로 치환해주면,

로, 바로 윗 문단에서 푼 $x^x = a$ 꼴이 되었다. $u$에 대해 풀고 치환 했던 문자들을 정리하면, $x$에 대한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.